Teilchen der Länge 3.0

Die Parametrisierung des GB Modells mit der Länge 3 ist die Referenz für die Simulationen der FK mit weichem Potential. Die meisten Experimente wurden mit diesem Parameter ($\sigma$ = 3) durchgeführt. Vor allem E. de Miguel durchsuchte den Phasenübergang sehr gründlich [50,51,53,54,55,56] und auch der erste Artikel darüber, von J. G. Gay und B. J. Berne [44] applizierte die Länge 3.

Das Minimum für die E-Konfiguration liegt bei dem Abstand 3.12 und beträgt -0.333 (Abbildung 2.2 auf Seite ). Das ist 10 mal tiefer als das Potential für die T-Konfiguration (-0.033), mehr als 40 mal tiefer als die S-Konfiguration (-0.007) und mehr als 70 mal tiefer als die X-Konfiguration (-0.004) bei dem Abstand 3.12. Bei dem Abstand 2.36 liegt das Minimum für die T-Konfiguration (-0.382). Das Potential ist dort ungefähr 10 mal tiefer als für die übrigen zwei Orientierungen (S-Konfiguration: -0.038, X-Konfiguration: -0.023), die aber ihre Minima bei dem Abstand 1.12 haben (X-Konfiguration -1.00 und S-Konfiguration -1.667). Wenn wir nur die Tiefe der Minima vergleichen, dann sehen wir, dass die Minima der S- und X-Konfiguration 2.6- bis zu 5 mal grösser sind als die Minima der E- und T-Konfiguration (S/X=1.67, S/T=4.36, S/E=5.00, X/T=2.62, X/E=3.00, T/E=1.15). Diese Quotienten zwischen der Tiefen der Minima sind fast gleich wie für die Länge 2.5, sind aber ausgeprägter - die Quotienten zwischen der Tiefe des Minimums und den Werten der übrigen Kurven sind wesentlich grösser.

Das System wurde bei der Anfangsdichte $\rho$ = 0.2 und der Temperatur 1.25 thermalisiert, worauf es bis zur Dichte 0.45 komprimiert wurde. Mit dem Zwischenergebnis bei $\rho$ = 0.25 wurde in zwei Richtungen simuliert: das erste System wurde bis T=0.5 gekühlt, das zweite wurde bis T=1.5 erhitzt. Dann folgte wie schon gewöhnlich eine Kompression bei den Temperaturen T=0.5, T=0.75, T=1.0 und T=1.5 bis zur Maximaldichte $\rho$ = 0.5.

Die Visualisierung (Abbildung 3.13 auf Seite ) zeigt die Bildung von Schichten für den Übergang bei den Temperaturen 0.5 und 0.75. Bei der Temperatur 1.25 gibt es eine Orientierung der Teilchen ohne Bildung von Schichten. Bei T=0.5 sind bei $\rho$ = 0.27 nur einzelne Domänen zu sehen (a) und P₂ ist dort unter 0.2. Die Domänen koordinieren sich bei der Kompression um nur $\Delta$$\rho$ = 0.1 (b), was sich durch den Aufstieg von P₂ auf 0.6 darspiegelt. Der Druck bleibt fast konstant (0.54). Eine weitere Kompression um $\Delta$$\rho$ = 0.1 (c) führt das System in eine smektische Phase mit einer sehr deutlichen Schichtung und den Direktor mit der Richtung $\vec{n}\,$ = (0.67, 0.23, 0.71). Der Ordnungsparameter steigt dabei auf den Wert über 0.9. Der Druck sinkt dabei auf nur 0.07. Ähnlich ist es auch bei der Temperatur 0.75: bei der Kompression von $\rho$ = 0.30 (d) bis $\rho$ = 0.31 (e) steigt der Ordnungsparameter von 0.56 auf 0.70 und das System reorientiert sich in eine neue Richtung; der Direktor dreht sich von $\vec{n}\,$ = (0.06, 0.94, - 0.34) auf $\vec{n}\,$ = (- 0.45, 0.83, - 0.33). Der Druck steigt dabei von 2.1 auf 2.2. Bei einer weiteren Kompression auf $\rho$ = 032 (f) bilden sich die smektischen Schichten und der Ordnungsparameter steigt auf 0.90. Der Direktor bleibt fast in der gleiche Richtung $\vec{n}\,$ = (- 0.43, 0.87, - 0.24), doch der Druck sinkt bis 1.77. Bei T=1.25 sind bei der Dichte 0.31 noch keine Domänen zu sehen (g), die aber dann koordiniert bei ($\rho$ = 0.32) auftreten (h) und somit den Ordnungsparameter auf den Wert 0.55 anheben. Weitere Kompression wirkt sich vor allem auf steigende Orientierungsordnung aus; P₂ steigt bis 0.9. Das System bleibt trotzdem in der nematischen Phase mit dem Direktor $\vec{n}\,$ = (0.62, 0.54, - 0.56) bei $\rho$ = 0.38 (i). Der Druck steigt bei der Kompression bis über 10.

Abbildung: Schnappschüsse für den Reinstoff der Länge 3.

Der Verlauf des Ordnungsparameters bei der Kompression (Abbildung 3.14 (a) auf Seite ) weist bei den Temperaturen 0.5, 1.25 und 1.50 auf einen Phasenübergang hin, bei 0.75 und 1.00 aber auf zwei. Für die niedrigste Temperatur steigt P₂ langsam bis den Wert 0.2. Danach steigt er extrem schnell auf 0.9. Etwas anders ist es bei der Temperatur 0.75. Dort gibt es eine Stufe dazwischen: kurz vor der Dichte 0.305 steigt P₂ schnell auf 0.6, dann vergrössert sich sein Wert in dem Bereich der Dichte 0.305 bis 0.315 nur um 0.1, dann aber wieder schneller bis 0.9. So ähnlich ist auch bei der Temperatur 1.00, nur das sich dort die Stufe ziemlich lange zieht: von $\rho$ = 0.32 bis $\rho$ = 0.38. Bei T=1.25 und T=1.50 gibt es keinen zweiten Übergang, obwohl sich der P₂ langsam auf einen Wert über 0.9 vergrössert. Der Druck steigt bei allen Temperaturen an (Abbildung 3.14 (b) auf Seite ), nur im Bereich des Überganges gibt es ein lokales Minimum - Anzeichen für einen Van der Waals Loop. Bei der Energie des Systems (Abbildung 3.14 (c) auf Seite ) ist noch interessanter, indem es dort nur bei T=1.00 ein lokales Minimum gibt, sonst wurde aber nur ein plötzlicher Abfall der Energie vermerkt, der auch auf eine globale Veränderung im System hinweist. Die Veränderungen sind deutlicher bei niedrigeren Temperaturen.

Abbildung: Ordnungsparameter, Druck und Energie für den Reinstoff der Länge 3.

Der Übergang findet in einem engen Bereich der Dichte statt, wobei dieser Bereich von der Temperatur abhängig ist (Tabelle 3.3 auf Seite ). Bei höherer Temperatur liegt der Übergang im höheren Dichtebereich. Je niedriger die Temperatur ist, desto steiler ist die P₂ - Kurve im Bereich des Überganges. Bei der Temperatur 0.5 gibt es nur einen I-Sm Übergang, bei den Temperaturen 0.75 und 1.0 gibt es zwei Übergänge: I-N und N-Sm. Der erste Übergang (I-N) findet bei höherer Temperatur und bei nur etwas höherer Dichte statt, doch der zweite Übergang (N-Sm) verschiebt sich wesentlich in der Richtung höherer Dichte, so dass wir ihn bei den Temperaturen 1.25 und 1.5 nicht mehr bestimmen konnten. Dort bleibt es nur bei einem I-N Übergang. Es wurde bei allen Temperaturen derselbe Grad der Orientierungsordnung erreicht, doch bei verschiedenen Dichten und mit verschiedener Raumordnung.

Tabelle: Das Intervall der Dichte des Überganges für den Reinstoff der Länge 3.

Temperatur	Dichte (I-N)	Dichte (I-Sm)	Dichte (N-Sm)
0.5	-	0.27-0.29	-
0.75	0.29-0.305	-	0.315-0.32
1.0	0.30-0.32	-	0.38-0.39
1.25	0.31-0.33	-	-
1.5	0.32-0.34	-	-

Aus den Graphen der Korrelationen vor dem Übergang (Abbildung 3.4 auf Seite ) kann man entnehmen, dass es keine weitreichende Ordnung gibt. Bei der Paarkorrelationsfunktionen g(r) (a) ist nur die erste Amplitude etwas höher. Je niedriger die Temperatur, desto höher die Amplitude. Die Longitudinal-Paarkorrelationsfunktionen g_l(r) (c) sind alle gleich: konstant gleich 1. Trotz der 1000 Funktionen, aus denen mit der Statistik die hier dargestellten Funktionen errechnet wurden, sind g_l(r) unglatt, weil die Oszillationen gering sind. Auch die Transversal-Paarkorrelationsfunktionen g_t(r) (e) sind ziemlich gleich und nach der ersten kleinen Amplitude sind sie konstant um 1. Die entsprechenden Orientierungsfunktionen g₂(r), g_2l(r) und g_2t(r) (b,d,f) sind nur gering.

Die Graphen während des Überganges (Abbildung 3.4 auf Seite ) weisen schon auf eine Raum- und Orientierungsordnung hin. Die Amplituden der Paarkorrelationsfunktionen g(r) (a) wurden ausgeprägter. Die Longitudinal-Paarkorrelationsfunktion g_l(r) (c) zeigt, dass sich bei den Temperaturen T=0.50 und T=0.75 Schichten mit einem Abstand 2.5 bilden. Die Transversal-Paarkorrelationsfunktionen g_t(r) (e) zeigen noch immer nur geringe Raumordnung. Die entsprechende Orientierungsfunktionen g₂(r), g_2l(r) und g_2t(r) (b,d,f) sind etwas niedrigerer. Sie nähern sich asymptotisch einem Wert von ungefähr 0.15 unter dem Ordnungsparameter an.

Die Graphen nach den Übergängen (Abbildung 3.4 auf Seite ) zeigen eine ausgeprägte Raum- und Orientierungsordnung. Die Paarkorrelationsfunktionen g(r) (a) deuten besonders bei den Temperaturen 0.5 und 0.75 auf einen sehr hohen Grad der Raumordnung. Die Longitudinal-Paarkorrelationsfunktionen g_l(r) (c) weisen bei den erwähnten Temperaturen auf ausgeprägte Schichten bei T=0.50 und T=0.75 mit einem Abstand zwischen 2.5 und 2.8. Bei der Temperatur 1.00 sind die Oszillationen ebenfalls zu sehen, allerdings nicht so intensiv und mit einem Abstand 2.4 zwischen den Schichten. Bei den Temperaturen 1.25 und 1.5 gibt es keine Spuren von Schichtung. Die Korrelationen in den Schichten sind, wie man aus Transversal-Paarkorrelationsfunktionen (e) sieht, nicht stark. Die Orientierungsfunktionen g₂(r), g_2l(r) und g_2t(r) (b,d,f) sind fast gleich wie die Raumordnungsfunktionen, was auf einem hohen Grad der Orientierungsordnung hinweist.

Die Teilchen der Länge 3.0 haben bei der Temperatur 0.5 nur einen isotropisch-smektischen Übergang; bei den Temperaturen 0.75 und 1.0 gibt es zwei Übergänge (isotropisch-nematisch und nematisch-smektisch) und bei den Temperaturen 1.25 und 1.5 gibt es wieder nur einen isotropisch-nematischen Übergang.

Abbildung: Korrelationsfunktionen für den Reinstoff der Länge 3 vor dem Übergang.

Abbildung: Korrelationsf. für den Reinstoff der Länge 3 im Übergangsbereich.

Abbildung: Korrelationsfunktionen für den Reinstoff der Länge 3 nach dem Übergang.