Teilchen der Länge 2.5

Die Länge 2.5 ist besser geeignet für die Darstellung von FK als die früher angewandten Längen 1.5 und 2.0. Die Minima des Potentials für die E- und T-Konfiguration sind bei einem bestimmten Abstand deutlich unter den anderen zwei Kurven (Abbildung 3.9 auf Seite ). Für die E-Konfiguration liegt das Minimum bei dem Abstand 2.62 und beträgt -0.29. Das ist mehr als fünfmal tiefer als das Potential für die T-Konfiguration (-0.06), mehr als zwanzigmal tiefer als die S-Konfiguration (-0.018) und die X-Konfiguration
(- 0.012) und zwar bei dem Abstand 2.62. Bei dem Abstand 2.03 beträgt das Minimum für die T-Konfiguration (-0.38). Das Potential ist dort ungefähr sechsmal tiefer als die übrigen zwei Orientierungen (S-Konfiguration: -0.082, X-Konfiguration: -0.056), die aber ihre Minima bei dem Abstand 1.12 haben (X-Konfiguration -1.00 und S-Konfiguration -1.45). Wenn wir nur die Tiefe der Minima vergleichen, dann sehen wir, dass die Minima der S- und X-Konfiguration 2.5- bis zu fünfmal grösser sind als die Minima der E- und T-Konfiguration (S/X=1.45, S/T=3.82, S/E=5, X/T=2.63, X/E=3.45, T/E=1.31). Die ausgeprägten Minima können bei genügend langsamer Kompression/Dekompression des Systems eine entscheidende Rolle spielen. 'Genügend langsam' bedeutet, dass die MC-Schritte entsprechend klein sind und dass es dazwischen immer viele Thermalisierungen gibt, die dann eine Anpassung der Verteilung und der Orientierung der Teilchen hinsichtlich des angewandtes Potentials, der Temperatur und der Dichte möglich machen, worin auch der Hauptgrund unserer Langsamkeit der Simulation liegt.

Abbildung: GB Potential für den Reinstoff der Länge 2.5.

Die Anfangsdichte des Systems war $\rho$ = 0.2. Es wurde thermalisiert bei der Temperatur 1.25 und danach wurde es komprimiert bis zur Dichte 0.55. Mit dem Zwischenergebnis bei $\rho$ = 0.25 wurde in zwei Richtungen simuliert: das erste System wurde gekühlt bis T=0.5, das zweite wurde erhitzt bis T=1.5. Dann folgte wieder eine Kompression bei den Temperaturen T=0.5, T=0.75, T=1.0 und T=1.5 bis maximal $\rho$ = 0.6.

Die Visualisierung bei der Temperatur 0.5 zeigt die Bildung von Schichten nach dem Übergang ( Abbildung 3.10 auf Seite ). Die Teilchen bilden bei niedrigerer Dichte ($\rho$ = 0.36) kleine Domänen (a), wobei der Ordnungsparameter unter 0.2 bleibt. Mit der Kompression verkleinert sich der verfügbare Raum für die Domänen und bei bestimmter Dichte ($\rho$ = 0.39) trifft im System eine globale Ordnung ein (b). Der Ordnungsparameter steigt dabei auf ungefähr 0.6. Mit weiterer Kompression bis zur Dichte 0.41 bilden sich 7 Schichten aus (c), wobei der Direktor die frühere Orientierung $\vec{n}\,$ = (0.05, 0.95, - 0.31) erhält. Der Ordnungsparameter steigt wieder bis den Wert ungefähr 0.9. Die Schichtung ist klar zu sehen, wenn wir nur die Positionen der Teilchenschwerpunkte darstellen (d). Zur weiteren Verdeutlichung wird in (e) eine einzige Schicht mit 103 Teilchen dargestellt. Das System wurde gedreht, damit wir die Schicht aus einer senkrechten Perspektive betrachten können (f). Die Ordnung innerhalb der Schicht ist wieder klarer zu sehen, wenn wir nur die Teilchenschwerpunkte darstellen (g). Es gibt eine 'schwache' hexagonale Struktur. Ähnlich ist es auch bei der Temperatur 0.75.

Bei den Temperaturen 1.00, 1.25 und 1.50 sieht es anders aus: obwohl der Ordnungsparameter bis zu einem Wert von ungefähr 0.9 steigt, gibt es dabei keine deutliche Schichten. Das System bei der Temperatur 1.00 und der Dichte 0.49 hat P₂=0.86 und den Direktor $\vec{n}\,$ = (0.053, 0.950, - 0.308) (Abbildung 3.10 auf Seite ). Das System wurde aus allen möglichen Perspektiven betrachtet, doch es war keine Schichtung zu sehen (h). Wir haben wieder einen Teil des Systems genommen und ihn gedreht, damit wir ihn aus einer senkrechten Perspektive betrachten können (i). Wir können nur kurz reichende Raumordnung feststellen.

Abbildung: Schnappschüsse für den Reinstoff der Länge 2.5.

Auch der Ordnungsparameter weist bei allen untersuchten Temperaturen auf einen Übergang hin (Abbildung 3.11 (a) auf Seite ). Der Übergang findet in einem bestimmten Bereich der Dichte statt, der von Temperatur abhängt (Tabelle 3.2 auf Seite ). Bei höherer Temperatur liegt der Übergang im höheren Dichtebereich. Der Verlauf des Ordnungsparameters ist bei den Temperaturen 1.00, 1.25 und 1.50 ziemlich gleich: er steigt in einem Bereich der Dichte $\Delta$$\rho$ = 0.5 von unter 0.1 bis über 0.8; bis zum Wert 0.6 schnell, dann aber langsamer. Bei der Temperatur 0.75 ist es ähnlich, nur dass eine Stufe im Dichtebereich 0.415 und 0.445 dazwischen liegt. Bei der Temperatur 0.5 ist der Anstieg des Ordnungsparameters den Wert 0.3 langsamer, dann aber bis 0.9 steil. Wir haben auch Simulationen mit wenigeren Thermalisierungen durchgeführt. Dabei wurde der Anstieg des Ordnungsparameters geringer, $\Delta$$\rho$ wurde grösser. Im Verlauf der Kompression steigt der Druck bei allen Temperaturen an (Abbildung 3.11 (b) auf Seite ), nur im Bereich des Überganges ist die Veränderung des Druckes kleiner - es gibt eine Stufe dazwischen. So ähnlich ist es auch bei der Energie des Systems (Abbildung 3.11 (c) auf Seite ), indem es dort lokale Minima gibt, die auch auf eine globale Veränderung im System hinweisen. Diese Minima sind deutlicher bei niedrigeren Temperaturen.

Abbildung: Ordnungsparameter, Druck und Energie für den Reinstoff der Länge 2.5.

Tabelle: Das Intervall der Dichte des Überganges für den Reinstoff der Länge 2.5.

Temperatur	Dichte
0.5	0.36-0.39
0.75	0.40-0.45
1.0	0.41-0.46
1.25	0.43-0.48
1.5	0.45-0.49

Aus den Graphen der Korrelationen nach dem Übergang (Abbildung 3.3 auf Seite ) kann man entnehmen, dass für die Schichtung und Raumordnung der Teilchen eine ausgeprägte Entwicklung nur bei den zwei niedrigsten Temperaturen (0.5 und 0.75) kennzeichnend ist. Die Paarkorrelationsfunktionen (a,b) zeigen, dass die ersten Maxima bei den beiden niedrigsten Temperaturen doppelt so hoch sind wie bei den anderen Temperaturen. Die Oszillationen bei den beiden niedrigsten Temperaturen weisen auf eine weitreichende Raumordnung hin. Dagegen werden bei den anderen Temperaturen die Oszillationen nach den ersten Maxima bald flacher. Die Longitudinal-Paarkorrelationsfunktionen (c,d) zeigen sehr ausgeprägte Oszillationen für T=0.5 und T=0.75, die deutlich auf Schichten hinweisen. Dagegen sind für andere Temperaturen keine wesentliche Oszillationen zu vermerken. Die Longitudinal-Paarkorrelationsfunktionen sind konstant um den Wert 1, die Longitudinal-Orientierungs-Paarkorrelationsfunktionen etwas unter dem Wert des Ordnungsparameters. Auch die Transversal-Paarkorrelationsfunktionen (e,f) zeigen ausgeprägte Raumordnung innerhalb der Schichten für T=0.5 und T=0.75.

Die Teilchen der Länge 2.5 haben bei den Temperaturen T=0.5 und T=0.75 einen isotropisch-smektischen Übergang. Bei den Temperaturen T=1.00, T=1.25 und T=1.50 gibt es einen isotropisch-nematischen Übergang.

Abbildung: Korrelationsfunkt. für den Reinstoff der Länge 2.5 nach dem Übergang.