Das Modell: Gay-Berne Potential

Die ersten Simulationen auf der molekularen Ebene wurden mit Gittermodellen durchgeführt. Die Spins, die kleinere Domänen von Molekülen mit gleicher Orientierung darstellen, werden dabei auf ein Gitter verteilt und interagieren miteinander mit einen Potential, wie zum Beispiel dem nach Lebwohl-Lasher U_{i, j} = $\varepsilon$P₂(cos$\theta_{ij}^{}$)[30,31], das eigentlich die mikroskopische Variante des Maier-Saupe Potentials [32,33,34] aus der Kontinuumtheorie ist, und dass einen Übergang isotropisch-nematisch darstellt. Wegen seiner einfachen Form wurden viele umfangreiche Studien mit diesem Potential durchgeführt, wie z.B. Phasenübergänge [35,36], Grenzflächen [37,38], elastische [39] und optische Eigenschaften [40] usw.

Es gibt auch viele Experimente mit harten Potentialen (Ellipsoiden, Sphärozylindern, Plättchen etc.) [4,5,6,7,8], doch ein weiches Modell ist nützlicher, weil es neben einer kurz reichenden Abstossung noch einen weitreichenden Anziehungsanteil hat. Ein seit längerer Zeit bekanntes Modell für die isotropen Moleküle ist das Lennard-Jones Potential

[41,42]:

$$\epsilon \Biggl( \biggl( {\sigma \over r} \biggr)^{12}_{} \biggl( {\sigma \over r} \biggr)^{6}_{} \Biggr)$$ (2.1)

das eine Wechselwirkung zwischen zwei Kugeln darstellt und somit für Argon ideal ist. Im Jahr 1972 entwarfen B.J.Berne und P.Pechukas [43] das sogenannte 'Gaussian Overlap Potential'. Das war eigentlich ein modifiziertes Lennard-Jones Potential, mit dem man längliche (ellipsoidische) Moleküle darstellen konnte. J.G.Gay und B.J.Berne verbesserten es neun Jahre später [44] und erst Ende der Achtzigerjahre führte G.R.Luckhurst mehrere genaue Untersuchungen durch [45,46].

Das Gay-Berne Potential hat die Form [43,44]:

$$\hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \vec{r}\, \varepsilon \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \hat{\vec{r}} \Biggl[ {\biggl\{{\sigma_0 \over r - \sigma(\hat{\vec{u}_i},\hat{\vec{u}_j},\hat{\vec{r}}) + \sigma_0}\biggr\}}^{12}_{} {\biggl\{{\sigma_0 \over r - \sigma(\hat{\vec{u}_i},\hat{\vec{u}_j},\hat{\vec{r}}) + \sigma_0}\biggr\}}^{6}_{} \Biggr]$$ (2.2)

wobei $\hat{\vec{u}_i}$ und $\hat{\vec{u}_j}$ die Einheitsvektoren in der Richtung der Moleküle i und j sind, $\vec{r}\,$ = $\vec{r_{ij}}\,$ ist der intermolekulare Vektor (Abbildung 2.2 auf Seite ). $\sigma$($\hat{\vec{u}_i}$,$\hat{\vec{u}_j}$,$\hat{\vec{r}}$) ist gegeben durch:

$$\sigma \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \hat{\vec{r}} \sigma_{0}^{} {\Biggl[1-{1 \over 2}\chi\biggl\{ {{(\hat{\vec{r}}\cdot\hat{\vec{... ...1-\chi(\hat{\vec{u}_i}\cdot\hat{\vec{u}_j})} \biggr\}\Biggr]}^{-{1 \over 2}}_{}$$ (2.3)

$\varepsilon$($\hat{\vec{u}_i}$,$\hat{\vec{u}_j}$,$\hat{\vec{r}}$) bestimmt die Tiefe des Potentials:

$$\varepsilon \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \hat{\vec{r}} \varepsilon_{0}^{} \varepsilon^{\nu}_{} \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \varepsilon{^\prime}^{\mu} \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \hat{\vec{r}}$$ (2.4)

wobei $\varepsilon$($\hat{\vec{u}_i}$,$\hat{\vec{u}_j}$) und $\varepsilon{^\prime}$($\hat{\vec{u}_i}$,$\hat{\vec{u}_j}$,$\hat{\vec{r}}$) seine Parameter sind:

$$\varepsilon \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \Bigl\{ \chi^{2}_{} \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \Bigr\}^{-{1 \over 2}}_{}$$ (2.5)

$$\varepsilon{^\prime} \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \hat{\vec{r}} {1 \over 2} \chi{^\prime} \biggl\{ {{(\hat{\vec{r}}\cdot\hat{\vec{u}_i}+\hat{\vec{r}}\cdot\hat{\vec{u}_j})}^2 \over 1+\chi'(\hat{\vec{u}_i}\cdot\hat{\vec{u}_j})} {{(\hat{\vec{r}}\cdot\hat{\vec{u}_i}-\hat{\vec{r}}\cdot\hat{\vec{u}_j})}^2 \over 1-\chi'(\hat{\vec{u}_i}\cdot\hat{\vec{u}_j})} \biggr\}$$ (2.6)

$\chi$ ist der Anisotropie - Parameter des Durchmessers:

$$\chi {{({\sigma_e / \sigma_s})^2-1} \over {({\sigma_e / \sigma_s})^2+1}}$$ (2.7)

$\chi{^\prime}$ ist der Anisotropie - Parameter der Potentialtiefe:

$$\chi{^\prime} {{1- ({\varepsilon_e / \varepsilon_s})^{1 \over \mu} } \over {1+({\varepsilon_e / \varepsilon_s})^{1 \over \mu} }}$$ (2.8)

Mit der Parametrisierung des Potentials haben sich mehrere Forscher beschäftigt [46,47,48,49], besonders hinsichtlich der Parameter $\mu$ und $\nu$. Es hat sich erwiesen, dass die günstigste Kombination für FK lautet [50]:

$$\mu \nu {\sigma_e \over \sigma_s} {1 \over 5}$$ (2.9)

was auch uns als Grundlage diente. Wegen der Einfachheit bezeichnen wir den Quotient $\sigma_{e}^{}$/$\sigma_{s}^{}$ nur mit $\sigma$ und ebenso $\varepsilon_{e}^{}$/$\varepsilon_{s}^{}$ mit $\varepsilon$. Die oben angeführte Parametrisierung ergibt ein reiches Phasendiagramm (Abbildung 2.2 auf Seite ) von der isotropischen über die nematische bis zur smektischen Phase [50,51].

Abbildung: Richtung der Moleküle und der intermolekulare Vektor.

Abbildung: GB-Potential für den Reinstoff der Länge 3 ( $\sigma$ = 3).

Abbildung: GB-Phasendiagramm für den Reinstoff der Länge 3 ( $\sigma$ = 3) [50].