Observablen: Ordnungsparameter, Druck und Energie

Die Orientierungsordnung wird bei den FK auf dem mikroskopischen Niveau meistens durch den Ordnungsparameter P₂ beschrieben. Man erhält ihn als den grössten Eigenwert des Q Tensors [27,52]:

$$\alpha \beta {{1}\over{N}} {\sum_{i=1}^{N}{{3u_{\alpha i} u_{\beta i} - \delta_{\alpha,\beta}}\over{2}}}$$ (2.10)

P₂ kann Werte zwischen 0 und 1 haben. Eine Struktur ohne signifikante Orientierungsordnung hat P₂ kleiner als 0.1. Je mehr Teilchen es in der Struktur gibt, desto näher zu 0 ist P₂ im solchem Zustand. Für nematische Stoffe liegt P₂ im allgemeinen zwischen 0.3 und 0.6 und für smektische über 0.7. Wenn alle Moleküle dieselbe Orientierung haben, dann ist P₂ gleich 1.

Wir haben für die Mischungen separat P₂ für jede Struktur berechnet, und zwar P₂(1) für die erste Teilchensorte, bzw. P₂(2) für die zweiten Teilchen, und noch für das komplette System P₂. Durch den Ordnungsparameter konnten wir den Grad der Orientierungsordnung und damit die Phase für jede Teilchenart bestimmen.

Eine besonders wichtige Rolle spielt bei den FK der Direktor. Er ergibt sich als Eigenvektor, der dem grössten Eigenwert des Q entspricht. Er zeigt in die Richtung der dominanten Orientierung. Bei der Visualisierung wurde die Richtung des Direktors in den meisten Fällen als eine lange Linie eingezeichnet. Der Blickwinkel bei der 3D Visualisierung wurde so bestimmt, dass der Direktor in der Ebene der 2D Projektion lag. Damit waren die Domänen und die smektischen Schichten besonders deutlich zu sehen.

Der Druck wurde nach dem Virialsatz bestimmt [28]:

$$\rho {{1}\over{3 V}} {\sum_{i}\sum_{j > i} { - \vec{r_{ij}} * { {\partial U_{ij}} \over {\partial \vec{r}}} }}$$ (2.11)

Die Dichte des Systems ist mit der Anzahl der Teilchen N und dem Volumen V definiert:

$$\rho$$ (2.12)

Das Volumen der Simulationsbox, in unserem Fall eine Würfel, ist V = l³, wobei l die Länge der Box ist. T ist die Temperatur. $\sum_{i}^{}$$\sum_{j > i}^{}$ ist die Summe sämtlicher Teilchenpaare. Die Gleichung für ${{\partial U_{ij}} \over {\partial \vec{r}}}$ wurde von G.R. Luckhurst publiziert [46], jedoch mit einigen Fehlern, die dann von M. Gabor und P. Kocan korrigiert wurden [24].

Die dritte wichtige Observable war die Energie pro Teilchen. Sie wurde in unserem Fall als der Mittelwert von der gesamten potentiellen Energie des Systems errechnet [28]:

$${{1}\over{N}} \sum_{i}^{} \sum_{j > i}^{} \hat{\vec{u}_i} \hat{\vec{u}_j} \vec{r_{ij}}\,$$ (2.13)

U($\hat{\vec{u}_i}$,$\hat{\vec{u}_j}$,$\vec{r_{ij}}\,$) ist die Wechelwirkungsenergie (GB Potential) des Teilchenpaars i und j.

Für alle Observablen wurde zuerst eine Datei erstellt, die die Werte die Kompression oder die Kühlung entlang beschrieb. Mit diesen Daten wurde dann die Statistik gemacht, so dass jeder Punkt an den Kurven als ein Durchschnitt von 50 bis 100 Daten ist. An den Graphen ist für jeden Punkt auch der Fehler eingezeichnet, der mit Statistik bestimmt wurde. Alle Graphen, auch für die Korrelationen und fürs Potential, wurden mit dem Programm GNUPLOT unter LINUX hergestellt. Die Graphen für das GB-Potential wurden für vier Orientierungen gezeichnet (Abbildung 2.4 auf Seite ). Mit S/E wurde der Quotient zwischen den Minima der S- und E-Konfiguration bezeichnet und die weiteren Quotienten dann nach demselben Prinzip: S/X, S/T, X/T, X/E und T/E.

Wir haben reduzierte Variablen mit entsprechenden Einheiten verwendet [27,28]:

r_o = $\sigma_{0}^{}$ (Länge)
E_o = $\varepsilon_{0}^{}$ (Energie)
T_o = $\varepsilon_{0}^{}$/k (Temperatur)
$\rho_{o}^{}$ = 1/$\sigma_{0}^{3}$ (Dichte)
p_o = $\varepsilon_{0}^{}$/$\sigma_{0}^{3}$ (Druck)

Wir haben für die 3D-Visualisierung ein Programm in C++ verfasst (GB-plot), das die Teilchen mit kleinen Linien darstellt. Bei den Mischungen wurde dafür ausserdem noch das Programm elview von Prof.Dr. M.Neumann verwendet.