Korrelationsfunktionen

Die räumliche Anordnung haben wir mit der Paarkorrelationsfunktion g(r) [27,28,52]

$${V \over{N^2}} \langle \sum_{i}^{} \sum_{j \ne i}^{} \delta \rangle$$ (2.14)

und die Orientierungsordnung mit der Orientierungs-Paarkorrelationsfunktion g₂(r) [27]:

$${V \over{N^2}} \langle \sum_{i}^{} \sum_{j \ne i}^{} \delta \gamma_{ij}^{} \rangle$$ (2.15)

beschrieben. P₂(cos$\gamma_{ij}^{}$) ist das Legendre-Polynom P₂(x) = (3x² - 1)/2 und $\gamma_{ij}^{}$ ist der Winkel zwischen den Einheitsvektoren $\hat{\vec{u}_i}$ und $\hat{\vec{u}_j}$ in der Richtung der Moleküle i und j. Bei einer Phase mit Orientierungsordnung oszilliert g₂(r) um den Wert des Quadrates des Ordnungsparameters P₂² herum.

Die Longitudinal - Paarkorrelationsfunktion g_l(r) ist g(r) projiziert in die Richtung des Direktors $\vec{n}\,$ und deutet mit ausgeprägten Oszillationen auf Bildung der Schichten. Für die Transversal - Paarkorrelationsfunktion g_t(r) wird g(r) senkrecht zum Direktor projiziert. Sie deutet auf den Grad der Ordnung in den eventuellen Schichten hin.

Bei den Korrelationen gibt es zahlreiche Funktionen für verschiedene Zustände und es war schwer eine klare Übersicht zu schaffen. Bei den Reinstoffen haben wir die Korrelationen in drei Gruppen eingeteilt:

• Korrelationen unmittelbar vor dem Übergang,
• Korrelationen während des Überganges und
• Korrelationen unmittelbar nach dem Übergang.

In jeder Gruppe gibt es dann 6 Graphen, die dann die Korrelationen desselben Typs bei verschiedenen Temperaturen entsprechender Dichte darstellen. Wir fügten dann die Funktionen für verschiedene Temperaturen der jeweiligen Phase in demselben Graph zusammen. Damit konnten wir den Einfluss der Temperatur auf den Orientierungsprozess bewerten. Es wäre auch möglich, die Funktionen für eine bestimmte Isoterme in denselben Graph zu zeichnen, was aber die Ergebnisse nicht so klar darstellen würde, und die Anzahl der Graphen würde damit noch höher.

Bei den Mischungen gibt es noch mehrere Graphen, weil wir alle oben genannte Korrelationen für die Teilchen des Typs 1 und die Teilchen des Typs 2 errechnet haben. Dazu kommt dann noch ein Gruppe von Graphen mit Cross-Korrelationen. Um eine bessere Verständlichkeit herzustellen, haben wir bei den Mischungen 3D-Graphen erstellt, die eine bestimmte Funktion die Kompression, bzw. die Kühlung entlang beschreiben. Jede Kurve ist ein Durchschnitt von tausend g's, die aus den Strukturen mit den gleichem NVT-Zustand produziert waren, mit zehn MC Schritten dazwischen. Besonders interessant waren die Amplituden für bestimmte Funktion. Die erste Amplitude wurde mit A₁(r₁, g₁) bezeichnet, wobei r₁ die Distanz ist, wo die erste Amplitude stattfindet, und g₁ ist derer Wert. Die weiteren Amplituden erscheinen dann nach demselben Prinzip: A₂(r₂, g₂), A₃(r₃, g₃) usw.

Abbildung 2.4: Orientierungen bei dem GB-Potential.